群

有人问一个小女孩，3+4 等于几啊？
小女孩说：“不知道，但我知道 3+4 等于 4+3 .”
这人只好接着问：“为什么呀？”
小女孩答道：“因为整数与整数加法构成了阿贝尔群。”

前言

虽然之前大概也能 get 到笑点，但只觉得阿贝尔群是个高深的概念，也没有细究。后来我接触到密码学，然后就开始学习近世代数，才知道了阿贝尔群就是交换群（即群上的代数运算满足交换律）。
一开始是在 B 站看的视频，后来发现那个系列是纯数学的，不大适合我，于是转回来看一本叫《近世代数及其应用》的书，正式开始记下笔记。

思来想去，我还是把之前写的一堆定义公式删了，那些个符号我当时不想看，现在也不想写，就试着科普向一点吧，毕竟我写文章也不是为了自娱自乐。

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群的定义

群，一个概念，也并非什么高深的东西，就是一个集合和集合上的运算，注意这个集合上的，已经包含了封闭律的意思，所谓封闭律，就是集合上的两个元素的运算结果还在这个集合，比如整数的加法和乘法，而整数的除法就不是了。而在这里的运算已经是一种泛义的说法，包括但不限于加法、乘法、除法、求余等等，甚于我定义出来的运算也是一种运算。在群中的运算一般用$\circ$或$\cdot$表示，有时也姑且称之为乘，但注意大多时不是指数的乘法。
同时，群还满足结合律，存在单位元和逆元。

结合律不必多说，就是括号随便加，而单位元的意思就是，集合中任意元素与这个单位元运算后还是本身，比如任意整数加 0 都不变，那么 0 就是整数加群中的单位元，同理1是有理乘法群中的单位元。
而逆元同样是针对集合上每个元素，性质就是任意元素与其逆元作运算后都等于单位元，比如整数加群中，1 的逆元是 -1，10086 的逆元是 -10086 ；有理乘法群中，1 的逆元还是 1 ，10086 的逆元是 1/10086 。注意到，对于整数和数的乘法而言，10086 并没有逆元，故整数和数的乘法不作成群。

插播一下：混进一个抽代群时有一个进群验证，题目是给出 A5 的全部正规子群，而我甚至连 A5 是啥都不知道，but 我有sagemath，嘿嘿，直接跑出单位元和 A5 本身，我又试了几下，发现只有 A4 除开单位元和自身外有其他正规子群，非常奇妙。代码如下：

#!sage
x=5
Ax = AlternatingGroup(x)
for i in Ax.conjugacy_classes_subgroups():
    if i.is_normal(Ax):
        if(i==Ax):
            print('Ax')
        else:
            print(i)
            for j in i.list():
                print(j)