有人问一个小女孩,3+4 等于几啊?
小女孩说:“不知道,但我知道 3+4 等于 4+3 .”
这人只好接着问:“为什么呀?”
小女孩答道:“因为整数与整数加法构成了阿贝尔群。”

前言

虽然之前大概也能 get 到笑点,但只觉得阿贝尔群是个高深的概念,也没有细究。后来我接触到密码学,然后就开始学习近世代数,才知道了阿贝尔群就是交换群(即群上的代数运算满足交换律)。
一开始是在 B 站看的视频,后来发现那个系列是纯数学的,不大适合我,于是转回来看一本叫《近世代数及其应用》的书,正式开始记下笔记。

思来想去,我还是把之前写的一堆定义公式删了,那些个符号我当时不想看,现在也不想写,就试着科普向一点吧,毕竟我写文章也不是为了自娱自乐。


群的定义

群,一个概念,也并非什么高深的东西,就是一个集合和集合上的运算,注意这个集合上的,已经包含了封闭律的意思,所谓封闭律,就是集合上的两个元素的运算结果还在这个集合,比如整数的加法和乘法,而整数的除法就不是了。而在这里的运算已经是一种泛义的说法,包括但不限于加法、乘法、除法、求余等等,甚于我定义出来的运算也是一种运算。在群中的运算一般用$\circ$或$\cdot$表示,有时也姑且称之为乘,但注意大多时不是指数的乘法。
同时,群还满足结合律,存在单位元逆元

结合律不必多说,就是括号随便加,而单位元的意思就是,集合中任意元素与这个单位元运算后还是本身,比如任意整数加 0 都不变,那么 0 就是整数加群中的单位元,同理1是有理乘法群中的单位元。
而逆元同样是针对集合上每个元素,性质就是任意元素与其逆元作运算后都等于单位元,比如整数加群中,1 的逆元是 -1,10086 的逆元是 -10086 ;有理乘法群中,1 的逆元还是 1 ,10086 的逆元是 1/10086 。注意到,对于整数和数的乘法而言,10086 并没有逆元,故整数和数的乘法不作成群。

插播一下:混进一个抽代群时有一个进群验证,题目是给出 A5 的全部正规子群,而我甚至连 A5 是啥都不知道,but 我有sagemath,嘿嘿,直接跑出单位元和 A5 本身,我又试了几下,发现只有 A4 除开单位元和自身外有其他正规子群,非常奇妙。代码如下:

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11
#!sage
x=5
Ax = AlternatingGroup(x)
for i in Ax.conjugacy_classes_subgroups():
if i.is_normal(Ax):
if(i==Ax):
print('Ax')
else:
print(i)
for j in i.list():
print(j)
作者

未央

发布于

2022-03-08

更新于

2024-05-16

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