材料力学笔记

莫名其妙考了个第一，来还个愿。

最近买了台二手服务器，折腾了一些集群、容器、虚拟化之类的东西，比较偏操作也没啥好记的，就很长时间没更了。

这里大致记一下概念，捋一下思路。

绪论

材料力学的任务

使材料满足三个要求：强度、刚度、稳定性。

变形固体的基本假设

三个假设：连续性、均匀性、各向同性。

变形与应变

应变 $\varepsilon$ 和切应变 $\gamma$ 是度量一点处变形程度的两个基本量，量纲为一。

杆件变形的基本形式

拉伸或压缩、剪切、弯曲、扭转。

拉伸、压缩与剪切

直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时沿斜截面发生。

设与横截面成 $\alpha$ 角的斜截面 $k-k$ 的面积为 $A_\alpha$，横截面的面积为 $A$，则
$$
A_\alpha = \frac{A}{\cos\alpha}
$$

把应力 $p_\alpha$ 分解成垂直于斜截面的正应力 $\sigma_\alpha$ 和沿斜截面的剪应力 $\tau_\alpha$，则
$$
\sigma_\alpha = p_\alpha\cos\alpha = \sigma\cos^2\alpha \\
\tau_\alpha = p_\alpha\sin\alpha = \sigma\cos\alpha\sin\alpha = \frac{\sigma}{2}\sin2\alpha
$$

当 $\alpha = 0$ 时，$\sigma_\alpha$ 达到最大值，即
$$
\sigma_{\alpha \mathrm{max}} = \sigma
$$

材料拉伸时的力学性能

低碳钢的力学性能大致如下：

1. 弹性阶段：应力 $\sigma$ 与应变 $\varepsilon$ 成正比，即有 $\sigma = E\varepsilon$ ，$E$ 为弹性模量。直线最高点对应的应力 $\sigma_\mathrm{p}$ 称为比例极限，超过这个比例极限后，还有一个弹性极限，这两点间虽然不是直线，但松开后变形还是可以完全消失的，但两点非常接近，所以实际上不作严格区分。
2. 屈服阶段：一段小锯齿，应变明显增加，应力先下降再小波动，先下降的那个最低点为屈服阶段或屈服强度，记作 $\sigma_\mathrm{s}$ 。
3. 强化阶段：恢复抵抗变形能力，最高点对应应力 $\sigma_\mathrm{b}$ 为强度极限。
4. 局部变形阶段：过强度极限后出现缩颈

铸铁在较小拉应力下就被拉断，没有屈服和缩颈现象，拉断前的应变也小，是典型的脆性材料。

材料压缩时的力学性能

什么？这不是饼干，这是一个压缩毛巾啊……（滑稽）

低碳钢压缩时的弹性模量 $E$ 和屈服极限 $\sigma_\mathrm{s}$ 都和拉伸时大致相同，之后越压越扁，也越来越难压，所以得不到压缩时的强度极限。

铸铁仍在较小变形下突然破坏，破坏断面法线与轴线大致成 45° - 55° 角。

失效、安全因数和强度计算

对塑性材料，$[\sigma] = \frac{\sigma_\mathrm{s}}{n_\mathrm{s}}$；对脆性材料，$[\sigma] = \frac{\sigma_\mathrm{b}}{n_\mathrm{b}}$。其中 $n_\mathrm{s}$ 和 $n_\mathrm{b}$ 称为安全系数，有
$$
\sigma = \frac{F_\mathrm{N}}{A} \leqslant [\sigma]
$$

轴向拉伸或压缩时的变形

$$
\Delta l = \frac{F_\mathrm{N}l}{EA} = \frac{Fl}{EA}
$$

可以看出，对长度相同、受力相等的杆件，$EA$ 越大变形 $\Delta l$ 就越小，所以 $EA$ 越大的材料越强，称为杆件的抗拉（压）刚度。

试验表明，应力不超过比例极限时横向应变 $\varepsilon’$ 与轴向应变 $\varepsilon$ 之比是一个常数，即
$$
\mu = -\frac{\varepsilon’}{\varepsilon}
$$
$\mu$ 称为横向变形因数或泊松比。之所以有个负号，是因为一般材料都是伸长时横向缩小，压缩时横向增大。

轴向拉伸或压缩时的应变能

杆件拉伸时，有 $W = \frac12F\Delta l$，忽略动能、热能等变化，杆件就只存到了应变能 $V_\varepsilon = W = \frac12F\Delta l = \frac{F^2l}{2EA}$，比能 $v_\varepsilon = \frac12\sigma\varepsilon$。

能量法解题时需要计算应变能。

拉伸、压缩超静定问题

理论力学默认材料都是刚体，没法解决超静定问题，但实际上材料总是会变形的。

温度应力和装配应力

温度变化为 $\Delta T$ 时，杆件变形为
$$
\Delta l_T = \alpha_l\Delta T\cdot l
$$
式中 $\alpha_l$ 为材料的线胀系数。

剪切和挤压的实用计算

$$
\tau = \frac{F_\mathrm{S}}{A} \leqslant [\tau]
$$

扭转

外力偶矩的计算

由
$$
2\pi \times \frac{n}{60} \times M_\mathrm{e} = P \times 1000
$$
得出计算外力偶矩 $M_\mathrm{e}$ 的公式为
$$
{M_\mathrm{e}}_{\mathrm{N\cdot m}} = 9549 \frac{{P}_\mathrm{kW}}{{n}_\mathrm{r/min}}
$$

纯剪切

对各向同性材料，三个弹性常数 $E,G,\mu$ 之间存在下列关系：
$$
G = \frac{E}{2(1+\mu)}
$$

圆轴扭转时的应力

最大切应力
$$
\tau_\mathrm{max} = \frac{T}{W_\mathrm{t}}
$$
式中 $W_\mathrm{t}=I_p/R$ 为抗扭(twist)截面系数。
圆截面的抗扭截面系数为
$$
W_\mathrm{t} = \frac{\pi D^3}{16}
$$
空心圆截面的抗扭截面系数为
$$
W_\mathrm{t} = \frac{\pi}{16D}(D^4 - d^4) = \frac{\pi D^3}{16}(1 - \alpha^4)
$$

圆轴扭转时的变形

距离为 $l$ 的两个横截面之间的相对转角为
$$
\varphi = \frac{Tl}{G I_\mathrm{p}}
$$
$\varphi$ 的变化率 $\varphi’$ 为单位长度扭转角，单位为 rad/m，即
$$
\varphi’_\mathrm{max} = \frac{T}{G I_\mathrm{p}} \leqslant [\varphi’]
$$
式中 $I_\mathrm{p}$ 为横截面对圆心 $O$ 点的极惯性矩，即
$$
I_\mathrm{p} = \int_A \rho^2 \mathrm{d}A
$$
圆截面的 $I_\mathrm{p} = \frac{\pi D^4}{32}$，空心圆截面的 $I_\mathrm{p} = \frac{\pi D^4}{32}(1 - \alpha^4)$。

圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形

弹簧最大切应力
$$
\tau_\mathrm{max} = \left(\frac{4c-1}{4c-4}+\frac{0.615}{c}\right)\frac{8FD}{\pi d^3} = k\frac{8FD}{\pi d^3}
$$
式中 $c=\frac Dd$ 为弹簧指数，$k$ 为曲度系数。

刚度系数
$$
C = \frac{Gd^4}{8D^3n} = \frac{Gd^4}{64R^3n}
$$
代表弹簧抵抗变形的能力。
变形 $\lambda = \frac{F}{C}$ 。

非圆截面杆扭转的概念

$$
\tau_\mathrm{max} = \frac{T}{\alpha hb^2}
$$

弯曲内力

弯曲的概念和实例

以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。

剪力和弯矩

符号规定：

• 剪力：截面 $m-m$ 的左段对右段向上相对错动时，截面 $m-m$ 上的剪力规定为正；反之为负。
• 弯矩：截面 $m-m$ 处弯曲变形凸向下时，截面 $m-m$ 上的弯矩规定为正；反之为负。

计算剪力和弯矩时注意考虑支座反力。
弯矩方程对距离求导为剪力方程。

平面曲杆的弯曲内力

分析时取圆心角为 $\varphi$ 的横截面 $m-m$ 将曲杆分成两部分，然后列平衡方程。

符号规定：

• 引起拉伸变形的轴力 $F_\mathrm{N}$ 为正
• 使轴线曲率增加的弯矩 $M$ 为正
• 以剪力 $F_\mathrm{S}$ 对所考虑的一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针方向，则剪力 $F_\mathrm{S}$ 为正

弯曲应力

概述

弯矩 $M$ 只与横截面上的正应力 $\sigma$ 有关，剪力 $F_\mathrm{S}$ 只与横截面上的切应力 $\tau$ 有关。

梁中间段上剪力为零，弯矩为常量的情况称为纯弯曲。

梁发生弯曲变形时长度不变的纤维层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。

横力弯曲时的正应力

工程实际中觉的弯曲问题多为横力弯曲，此时梁的横截面上不仅有正应力而且有切应力。

一般情况下，最大正应力 $\sigma_\mathrm{max}$ 发生于弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处，即
$$
\sigma_\mathrm{max} = \frac{M_\mathrm{max}y_\mathrm{max}}{I_z}
$$
引入记号
$$
W = \frac{I_z}{y_\mathrm{max}}
$$
则有
$$
\sigma_\mathrm{max} = \frac{M_\mathrm{max}}{W}
$$
$W$ 称为抗弯截面系数，与截面的几何形状有关，单位为 $\mathrm{m}^3$ 。

若截面是高为 $h$、宽为 $b$ 的矩形，则
$$
W = \frac{I_z}{h/2} = \frac{bh^3/12}{h/2} = \frac{bh^2}{6}
$$
若截面是直径为 $d$ 的圆形，则
$$
W = \frac{I_z}{d/2} = \frac{\pi d^4/64}{d/2} = \frac{\pi d^3}{32}
$$
类似地，空心圆形截面的抗弯截面系数为
$$
W = \frac{\pi d^3(1-\alpha^4)}{32}
$$
弯曲正应力的强度条件为
$$
\sigma_\mathrm{max} = \frac{M_\mathrm{max}}{W} \leqslant [\sigma]
$$

弯曲切应力

$$
S_z^* = \int_{A_1}y_1\mathrm{d}A
$$
是横截面的部分面积 $A_1$ 对中性轴的静矩。

一般说，在剪力为最大值的截面的中性轴上，出现最大切应力，且
$$
\tau_\mathrm{max} = \frac{F_\mathrm{Smax}S^*_\mathrm{zmax}}{I_z b}
$$

矩形截面梁的最大切应力
$$
\tau_\mathrm{max} = \frac{3}{2}\frac{F_\mathrm{S}}{bh}
$$
为平均切应力的 1.5 倍。

圆形截面梁的最大切应力
$$
\tau_\mathrm{max} = \frac43\frac{F_\mathrm{S}}{\pi R^2}
$$
为平均切应力的 $\frac43$ 倍。

提高弯曲强度的措施

对抗拉和抗压强度相同的材料（如碳钢）宜采用中性轴对称的截面，对抗拉和抗压强度不相等的材料（如铸铁）宜采用中性轴偏向于受拉一侧的截面形状。
如能使 $y_1$ 和 $y_2$ 之比接近于下列关系：
$$
\frac{\sigma_\mathrm{tmax}}{\sigma_\mathrm{cmax}} = \frac{M_\mathrm{max}y_1}{Iz}/\frac{M_\mathrm{max}y_2}{Iz} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{[\sigma_\mathrm{t}]}{[\sigma_\mathrm{c}]}
$$
式中 $[\sigma_\mathrm{t}]$ 和 $[\sigma_\mathrm{c}]$ 分别表示拉伸（Tension）和压缩（Compression）的许用应力，则最大拉应力和最大压应力可同时接近许用应力。
强度校核时超过百分之 $5$ 以内都可接受（跟开车超速一点点不扣分差不多）。

弯曲变形

挠曲线的微分方程

发生弯曲变形时，变形前为直线的梁轴线，变形后成为一条连续且光滑的曲线，称为挠曲线。

用积分法求弯曲变形

边界条件：在固定端，挠度和转角都为零，在铰支座上，挠度为零。
$$
EIw’’ = M(x)
$$
然后对 $x$ 积分两次，代入边界条件和连续条件确定积分常数，得到挠曲线方程。
注意 $w’$ 即为 $\theta$ 。

用叠加法求弯曲变形

弯曲变形很小且材料服从胡克定律时，挠曲线的微分方程是线性的。

应力和应变分析 强度理论

应力状态概述

切应力等于零的面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。

二向和三向应力状态的实例

圆筒的壁厚 $\delta$ 远小于它的内径 $D$ 时，称为薄壁圆筒。若封闭的薄壁圆筒所受内压为 $p$ ，则其横截面上应力
$$
\sigma’ = \frac FA = \frac{p\cdot\frac{\pi D^2}{4}}{\pi D\delta} = \frac{pD}{4\delta}
$$
纵向截面上应力
$$
\sigma’’ = \frac{pD}{2\delta}
$$

在研究一点的应力状态时，通常用 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ 代表该点的三个主应力，并以 $\sigma_1$ 代表代数值最大的主应力，$\sigma_3$ 代表代数值最小的主应力，即 $\sigma_1 \geqslant \sigma_2 \geqslant \sigma_3$ 。

二向应力状态分析————解析法

$\sigma_x$ 和 $\tau_{xy}$ 是法线与 $x$ 轴平行的面上的正应力和切应力；$\sigma_y$ 和 $\tau_{yx}$ 是法线与 $y$ 轴平行的面上的正应力和切应力。
符号规定：正应力拉正压负，切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负，这里与平常不同。
取任意斜截面，其外法线 $n$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\alpha$ 。规定：由 $x$ 轴转到外法线 $n$ 为逆时针转向时，则 $\alpha$ 为正。

$$
\left.
\begin{aligned}
\sigma_\mathrm{max} \\
\sigma_\mathrm{min}
\end{aligned}
\right\}
= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
$$
$$
\left.
\begin{aligned}
\tau_\mathrm{max} \\
\tau_\mathrm{min}
\end{aligned}
\right\}
= \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
$$
$$
\sigma_\alpha = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha - \tau_{xy}\sin2\alpha \\
\tau_\alpha = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha + \tau_{xy}\cos2\alpha
$$

二向应力状态分析————图解法

上面两式两边平方然后相加可消去 $\alpha$ ，得
$$
\left(\sigma_\alpha-\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_\alpha^2 = \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2
$$
$\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}$ 均为已知量，可此式是一个以 $\sigma_\alpha$ 和 $\tau_\alpha$ 为变量的圆方程，以横坐标表示 $\sigma$ ，纵坐标表示 $\tau$ ，则圆心横坐标为 $\frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)$ ，纵坐标为零，半径为 $\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$ 。这一圆周称为应力圆。

作法：

1. 在坐标系取点 $A(\sigma_x,0)$ ，$D(\sigma_x,\tau_{xy})$ ，$B(\sigma_y,0)$ ，$D’(\sigma_y,-\tau_{xy})$ 。
2. 连接 $D$ 和 $D’$ ，与横坐标交于 $C$ 点，以 $C$ 为圆心， $CD$ 为半径画圆，得到应力圆。

在应力圆上，从 $D$ 点（它代表以 $x$ 轴为法线的面上的应力）也按逆时针方向沿圆周转到 $E$ 点，且使 $DE$ 弧所对圆心角为 $\alpha$ 的 $2$ 倍，则 $E$ 点的坐标就代表以 $n$ 为法线的斜面上的应力。

三向应力状态

$$
\sigma_\mathrm{max} = \sigma_1, \quad\sigma_\mathrm{min} = \sigma_3, \quad\tau_\mathrm{max} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}
$$
$\sigma_2$ 就是一般就是垂直于 $\sigma_1$ 和 $\sigma_3$ 的应力。

广义胡克定律

$$
\varepsilon_x = \frac1E[\sigma_x-\mu(\sigma_y+\sigma_z)]
$$

$$
\varepsilon_1 = \frac1E[\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)] \\
\varepsilon_2 = \frac1E[\sigma_2-\mu(\sigma_1+\sigma_3)] \\
\varepsilon_3 = \frac1E[\sigma_3-\mu(\sigma_1+\sigma_2)]
$$

四种常用强度理论

最大拉应力理论（第一强度理论）
$$
\sigma_{\mathrm{r}1} = \sigma_1
$$
最大伸长线应力理论（第二强度理论）
$$
\sigma_{\mathrm{r}2} = \sigma_1 - \mu(\sigma_2+\sigma_3)
$$
最大切应力理论（第三强度理论）
$$
\sigma_{\mathrm{r}3} = \sigma_1 - \sigma_3
$$
最大畸变能密度理论（第四强度理论）
$$
\sigma_{\mathrm{r}4} = \sqrt{\frac12[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]}
$$

莫尔强度理论

$$
\sigma_\mathrm{rM} = \sigma_1 - \frac{[\sigma_t]}{[\sigma_c]}\sigma_3
$$

组合变形

扭转与弯曲的组合

$$
M = \sqrt{M_{y\mathrm{max}}^2+M_{z\mathrm{max}}^2}
$$
按第三强度理论，有
$$
\sqrt{\sigma^2+4\tau^2} \leqslant [\sigma] \\
\frac1W\sqrt{M^2+T^2} \leqslant [\sigma]
$$
按第四强度理论，有
$$
\sqrt{\sigma^2+3\tau^2} \leqslant [\sigma] \\
\frac1W\sqrt{M^2+0.75T^2} \leqslant [\sigma]
$$

压杆稳定

压杆稳定的概念

细长杆件受压时，设压力与轴线重合，压力小于某一极限值时，压杆一直保持直线形状的平衡，即便有微小的侧向干扰力使其暂时发生轻微弯曲，干扰力解除后，压杆也能恢复直线形状，这表明压杆直线形状的平衡是稳定的。但是如果压力大于某一极限值时，压杆的直线平衡变为不稳定，将转变为曲线形状的平衡。这时再用微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲，干扰力解除后，它将保持曲线形状的平衡，不能恢复到原有的直线形状。

上述压力的极限值称为临界压力或临界力，记为 $F_\mathrm{cr}$ 。压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定性，简称失稳，也称为屈曲。

其他支座条件下细长压杆的临界压力

欧拉公式的普遍形式为
$$
F_\mathrm{cr} = \frac{\pi^2EI}{(\mu l)^2}
$$
式中 $\mu l$ 表示把压杆折算成两端铰支杆的长度，称为相当长度，$\mu$ 称为长度因数，不同情况下的长度因数 $\mu$ 列表如下：

压杆的约束条件	长度因数
两端铰支	$\mu=1$
一端固定，另一端自由	$\mu=2$
两端固定	$\mu=\frac12$
一端固定，另一端铰支	$\mu\approx0.7$

欧拉公式的适用范围 经验公式

$$
\sigma_\mathrm{cr} = \frac{F_\mathrm{cr}}{A} = \frac{\pi^2EI}{(\mu l)^2A}
$$
$ \sigma_\mathrm{cr}$ 称为临界应力。把横截面的惯性矩 $I$ 写成
$$
I = i^2A
$$
上式可以写成
$$
\sigma_\mathrm{cr} = \frac{\pi^2E}{(\frac{\mu l}{i})^2A}
$$
引用记号
$$
\lambda = \frac{\mu l}{i}
$$
$\lambda$ 是一个量纲一的量，称为柔度或长细比，综合反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力 $\sigma_\mathrm{cr}$ 的影响。计算临界应力的公式可以写成
$$
\sigma_\mathrm{cr} = \frac{\pi^2E}{\lambda^2}
$$
这是欧拉公式的另一种表达形式，其适用范围为
$$
\lambda \leqslant \lambda_\mathrm{p} = \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_\mathrm{p}}}
$$

压杆的稳定性校核

$F_\mathrm{cr}$ 与 $F$ 之比即为压杆的工作安全因数 $n$，它应大于规定的稳定安全因数 $n_\mathrm{st}$，即
$$
n = \frac{F_\mathrm{cr}}{F} \geqslant n_\mathrm{st}
$$

平面图形的几何性质

静矩和形心

在坐标 $(y,z)$ 处，取微面积 $\mathrm{d}A$ ，遍及整个图形面积 $A$ 的积分
$$
S_z = \int_A y\mathrm{d}A, \quad S_y = \int_A z\mathrm{d}A
$$
分别定义为图形对 $z$ 轴和 $y$ 轴的静矩，也称为图形对 $z$ 轴和 $y$ 轴的一次矩。
这个坐标轴之所以只有 $y$ 和 $z$ 而没有 $x$ ，是因为我们一般分析的是横截面，$x$ 轴是杆的轴线方向。
可以看出，平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，也就是说，同一图形对不同的坐标轴的静矩通常是不同的。静矩的量纲是长度的三次方。

平面图形对 $y$ 轴和 $z$ 轴的静矩，分别等于图形面积 $A$ 乘形心的坐标 $\overline{z}$ 和 $\overline{y}$ ，即
$$
S_z = A\cdot\overline{y}, \quad S_y = A\cdot\overline{z}
$$

惯性矩和惯性半径

在坐标 $(y,z)$ 处，取微面积 $\mathrm{d}A$ ，遍及整个图形面积 $A$ 的积分
$$
I_y = \int_A z^2\mathrm{d}A, \quad I_z = \int_A y^2\mathrm{d}A
$$
分别定义为图形对 $y$ 轴和 $z$ 轴的惯性矩，也称为图形对 $y$ 轴和 $z$ 轴的二次矩。惯性矩的量纲是长度的四次方。
矩形的对形心轴的 $I_z$ 为 $\frac{bh^3}{12}$ 。
力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积 $A$ 与某一长度的平方的乘积，即
$$
I_y = A\cdot i_y^2, \quad I_z = A\cdot i_z^2
$$
或者改写为
$$
i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}}, \quad i_z = \sqrt{\frac{I_z}{A}}
$$
式中的 $i_y$ 和 $i_z$ 分别称为图形对 $y$ 轴和 $z$ 轴的惯性半径。惯性半径的量纲就是长度的量纲。

以 $\rho$ 表示微面积 $\mathrm{d}A$ 到坐标原点 $O$ 的距离，下列积分
$$
I_\mathrm{p} = \int_A \rho^2\mathrm{d}A
$$
定义为图形对坐标原点 $O$ 的极惯性矩。又 $\rho^2 = y^2+z^2$ ，于是有
$$
I_\mathrm{p} = \int_A (y^2+z^2)\mathrm{d}A = \int_A y^2\mathrm{d}A + \int_A z^2\mathrm{d}A = I_z + I_y
$$

惯性积

在坐标 $(y,z)$ 处，取微面积 $\mathrm{d}A$ ，遍及整个图形面积 $A$ 的积分
$$
I_{yz} = \int_A yz\mathrm{d}A
$$
定义为图形对 $y,z$ 轴的惯性积。惯性积的量纲是长度的四次方。
坐标系的两根坐标轴中只要有一根为图形对称轴，则图形对这一坐标系的惯性积就等于零。

平行移轴公式

$$
I_y = I_{yC} + a^2A \\
I_z = I_{zC} + b^2A \\
$$