材料力学笔记

莫名其妙考了个第一,来还个愿

最近买了台二手服务器,折腾了一些集群、容器、虚拟化之类的东西,比较偏操作也没啥好记的,就很长时间没更了。

这里大致记一下概念,捋一下思路。

绪论

材料力学的任务

使材料满足三个要求:强度刚度稳定性

变形固体的基本假设

三个假设:连续性均匀性各向同性

变形与应变

应变 ε 和切应变 γ 是度量一点处变形程度的两个基本量,量纲为一。

杆件变形的基本形式

拉伸或压缩、剪切、弯曲、扭转。

拉伸、压缩与剪切

直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

拉(压)杆的破坏并不总是沿横截面发生,有时沿斜截面发生。

设与横截面成 α 角的斜截面 kk 的面积为 Aα,横截面的面积为 A,则
Aα=Acosα

把应力 pα 分解成垂直于斜截面的正应力 σα 和沿斜截面的剪应力 τα,则
σα=pαcosα=σcos2ατα=pαsinα=σcosαsinα=σ2sin2α

α=0 时,σα 达到最大值,即
σαmax=σ

材料拉伸时的力学性能

低碳钢的力学性能大致如下:

  1. 弹性阶段:应力 σ 与应变 ε 成正比,即有 σ=EεE弹性模量。直线最高点对应的应力 σp 称为比例极限,超过这个比例极限后,还有一个弹性极限,这两点间虽然不是直线,但松开后变形还是可以完全消失的,但两点非常接近,所以实际上不作严格区分。
  2. 屈服阶段:一段小锯齿,应变明显增加,应力先下降再小波动,先下降的那个最低点为屈服阶段或屈服强度,记作 σs
  3. 强化阶段:恢复抵抗变形能力,最高点对应应力 σb强度极限
  4. 局部变形阶段:过强度极限后出现缩颈

铸铁在较小拉应力下就被拉断,没有屈服和缩颈现象,拉断前的应变也小,是典型的脆性材料。

材料压缩时的力学性能

什么?这不是饼干,这是一个压缩毛巾啊……(滑稽)

低碳钢压缩时的弹性模量 E 和屈服极限 σs 都和拉伸时大致相同,之后越压越扁,也越来越难压,所以得不到压缩时的强度极限。

铸铁仍在较小变形下突然破坏,破坏断面法线与轴线大致成 45° - 55° 角。

失效、安全因数和强度计算

对塑性材料,[σ]=σsns;对脆性材料,[σ]=σbnb。其中 nsnb 称为安全系数,有
σ=FNA[σ]

轴向拉伸或压缩时的变形

Δl=FNlEA=FlEA

可以看出,对长度相同、受力相等的杆件,EA 越大变形 Δl 就越小,所以 EA 越大的材料越强,称为杆件的抗拉(压)刚度

试验表明,应力不超过比例极限时横向应变 ε 与轴向应变 ε 之比是一个常数,即
μ=εε
μ 称为横向变形因数或泊松比。之所以有个负号,是因为一般材料都是伸长时横向缩小,压缩时横向增大。

轴向拉伸或压缩时的应变能

杆件拉伸时,有 W=12FΔl,忽略动能、热能等变化,杆件就只存到了应变能 Vε=W=12FΔl=F2l2EA,比能 vε=12σε

能量法解题时需要计算应变能。

拉伸、压缩超静定问题

理论力学默认材料都是刚体,没法解决超静定问题,但实际上材料总是会变形的。

温度应力和装配应力

温度变化为 ΔT 时,杆件变形为
ΔlT=αlΔTl
式中 αl 为材料的线胀系数

剪切和挤压的实用计算

τ=FSA[τ]

扭转

外力偶矩的计算


2π×n60×Me=P×1000
得出计算外力偶矩 Me 的公式为
MeNm=9549PkWnr/min

纯剪切

对各向同性材料,三个弹性常数 E,G,μ 之间存在下列关系:
G=E2(1+μ)

圆轴扭转时的应力

最大切应力
τmax=TWt
式中 Wt=Ip/R抗扭(twist)截面系数
圆截面的抗扭截面系数为
Wt=πD316
空心圆截面的抗扭截面系数为
Wt=π16D(D4d4)=πD316(1α4)

圆轴扭转时的变形

距离为 l 的两个横截面之间的相对转角
φ=TlGIp
φ 的变化率 φ单位长度扭转角,单位为 rad/m,即
φmax=TGIp[φ]
式中 Ip 为横截面对圆心 O 点的极惯性矩,即
Ip=Aρ2dA
圆截面的 Ip=πD432,空心圆截面的 Ip=πD432(1α4)

圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形

弹簧最大切应力
τmax=(4c14c4+0.615c)8FDπd3=k8FDπd3
式中 c=Dd弹簧指数k 为曲度系数。

刚度系数

C=Gd48D3n=Gd464R3n
代表弹簧抵抗变形的能力。
变形 λ=FC

非圆截面杆扭转的概念

τmax=Tαhb2

弯曲内力

弯曲的概念和实例

弯曲变形为主的杆件习惯上称为

剪力和弯矩

符号规定:

  • 剪力:截面 mm 的左段对右段向上相对错动时,截面 mm 上的剪力规定为正;反之为负。
  • 弯矩:截面 mm 处弯曲变形凸向下时,截面 mm 上的弯矩规定为正;反之为负。

计算剪力和弯矩时注意考虑支座反力
弯矩方程对距离求导为剪力方程。

平面曲杆的弯曲内力

分析时取圆心角为 φ 的横截面 mm 将曲杆分成两部分,然后列平衡方程。

符号规定:

  • 引起拉伸变形的轴力 FN 为正
  • 使轴线曲率增加的弯矩 M 为正
  • 以剪力 FS 对所考虑的一段曲杆内任一点取矩,若力矩为顺时针方向,则剪力 FS 为正

弯曲应力

概述

弯矩 M 只与横截面上的正应力 σ 有关,剪力 FS 只与横截面上的切应力 τ 有关。

梁中间段上剪力为零,弯矩为常量的情况称为纯弯曲

梁发生弯曲变形时长度不变的纤维层称为中性层,中性层与横截面的交线称为中性轴

横力弯曲时的正应力

工程实际中觉的弯曲问题多为横力弯曲,此时梁的横截面上不仅有正应力而且有切应力

一般情况下,最大正应力 σmax 发生于弯矩最大的截面上,且离中性轴最远处,即
σmax=MmaxymaxIz
引入记号
W=Izymax
则有
σmax=MmaxW
W 称为抗弯截面系数,与截面的几何形状有关,单位为 m3

若截面是高为 h、宽为 b 的矩形,则
W=Izh/2=bh3/12h/2=bh26
若截面是直径为 d 的圆形,则
W=Izd/2=πd4/64d/2=πd332
类似地,空心圆形截面的抗弯截面系数为
W=πd3(1α4)32
弯曲正应力的强度条件为
σmax=MmaxW[σ]

弯曲切应力

Sz=A1y1dA
是横截面的部分面积 A1 对中性轴的静矩。

一般说,在剪力为最大值的截面的中性轴上,出现最大切应力,且
τmax=FSmaxSzmaxIzb

矩形截面梁的最大切应力
τmax=32FSbh
为平均切应力的 1.5 倍。

圆形截面梁的最大切应力
τmax=43FSπR2
为平均切应力的 43 倍。

提高弯曲强度的措施

对抗拉和抗压强度相同的材料(如碳钢)宜采用中性轴对称的截面,对抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁)宜采用中性轴偏向于受拉一侧的截面形状。
如能使 y1y2 之比接近于下列关系:
σtmaxσcmax=Mmaxy1Iz/Mmaxy2Iz=y1y2=[σt][σc]
式中 [σt][σc] 分别表示拉伸(Tension)和压缩(Compression)的许用应力,则最大拉应力和最大压应力可同时接近许用应力。
强度校核时超过百分之 5 以内都可接受(跟开车超速一点点不扣分差不多)。

弯曲变形

挠曲线的微分方程

发生弯曲变形时,变形前为直线的梁轴线,变形后成为一条连续且光滑的曲线,称为挠曲线

用积分法求弯曲变形

边界条件:在固定端,挠度和转角都为零,在铰支座上,挠度为零。
EIw=M(x)
然后对 x 积分两次,代入边界条件和连续条件确定积分常数,得到挠曲线方程。
注意 w 即为 θ

用叠加法求弯曲变形

弯曲变形很小且材料服从胡克定律时,挠曲线的微分方程是线性的。

应力和应变分析 强度理论

应力状态概述

切应力等于零的面称为主平面,主平面上的正应力称为主应力。

二向和三向应力状态的实例

圆筒的壁厚 δ 远小于它的内径 D 时,称为薄壁圆筒。若封闭的薄壁圆筒所受内压为 p ,则其横截面上应力
σ=FA=pπD24πDδ=pD4δ
纵向截面上应力
σ=pD2δ

在研究一点的应力状态时,通常用 σ1,σ2,σ3 代表该点的三个主应力,并以 σ1 代表代数值最大的主应力,σ3 代表代数值最小的主应力,即 σ1σ2σ3

二向应力状态分析————解析法

σxτxy法线与 x 轴平行的面上的正应力和切应力;σyτyx法线与 y 轴平行的面上的正应力和切应力。
符号规定:正应力拉正压负,切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正,反之为负,这里与平常不同。
取任意斜截面,其外法线 nx 轴的夹角为 α 。规定:由 x 轴转到外法线 n逆时针转向时,则 α 为正。

σmaxσmin}=σx+σy2±(σxσy2)2+τxy2
τmaxτmin}=±(σxσy2)2+τxy2
σα=σx+σy2+σxσy2cos2ατxysin2ατα=σxσy2sin2α+τxycos2α

二向应力状态分析————图解法

上面两式两边平方然后相加可消去 α ,得
(σασx+σy2)2+τα2=(σxσy2)2+τxy2
σx,σy,τxy 均为已知量,可此式是一个以 σατα 为变量的圆方程,以横坐标表示 σ ,纵坐标表示 τ ,则圆心横坐标为 12(σx+σy) ,纵坐标为零,半径为 (σxσy2)2+τxy2 。这一圆周称为应力圆

作法:

  1. 在坐标系取点 A(σx,0)D(σx,τxy)B(σy,0)D(σy,τxy)
  2. 连接 DD ,与横坐标交于 C 点,以 C 为圆心, CD 为半径画圆,得到应力圆。

在应力圆上,从 D 点(它代表以 x 轴为法线的面上的应力)也按逆时针方向沿圆周转到 E 点,且使 DE 弧所对圆心角为 α2 倍,则 E 点的坐标就代表以 n 为法线的斜面上的应力。

三向应力状态

σmax=σ1,σmin=σ3,τmax=σ1σ32
σ2 就是一般就是垂直于 σ1σ3 的应力。

广义胡克定律

εx=1E[σxμ(σy+σz)]

ε1=1E[σ1μ(σ2+σ3)]ε2=1E[σ2μ(σ1+σ3)]ε3=1E[σ3μ(σ1+σ2)]

四种常用强度理论

最大拉应力理论(第一强度理论)
σr1=σ1
最大伸长线应力理论(第二强度理论)
σr2=σ1μ(σ2+σ3)
最大切应力理论(第三强度理论)
σr3=σ1σ3
最大畸变能密度理论(第四强度理论)
σr4=12[(σ1σ2)2+(σ2σ3)2+(σ3σ1)2]

莫尔强度理论

σrM=σ1[σt][σc]σ3

组合变形

扭转与弯曲的组合

M=Mymax2+Mzmax2
按第三强度理论,有
σ2+4τ2[σ]1WM2+T2[σ]
按第四强度理论,有
σ2+3τ2[σ]1WM2+0.75T2[σ]

压杆稳定

压杆稳定的概念

细长杆件受压时,设压力与轴线重合,压力小于某一极限值时,压杆一直保持直线形状的平衡,即便有微小的侧向干扰力使其暂时发生轻微弯曲,干扰力解除后,压杆也能恢复直线形状,这表明压杆直线形状的平衡是稳定的。但是如果压力大于某一极限值时,压杆的直线平衡变为不稳定,将转变为曲线形状的平衡。这时再用微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲,干扰力解除后,它将保持曲线形状的平衡,不能恢复到原有的直线形状。

上述压力的极限值称为临界压力或临界力,记为 Fcr 。压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡,称为丧失稳定性,简称失稳,也称为屈曲。

其他支座条件下细长压杆的临界压力

欧拉公式的普遍形式为
Fcr=π2EI(μl)2
式中 μl 表示把压杆折算成两端铰支杆的长度,称为相当长度,μ 称为长度因数,不同情况下的长度因数 μ 列表如下:

压杆的约束条件 长度因数
两端铰支 μ=1
一端固定,另一端自由 μ=2
两端固定 μ=12
一端固定,另一端铰支 μ0.7

欧拉公式的适用范围 经验公式

σcr=FcrA=π2EI(μl)2A
σcr 称为临界应力。把横截面的惯性矩 I 写成
I=i2A
上式可以写成
σcr=π2E(μli)2A
引用记号
λ=μli
λ 是一个量纲一的量,称为柔度或长细比,综合反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力 σcr 的影响。计算临界应力的公式可以写成
σcr=π2Eλ2
这是欧拉公式的另一种表达形式,其适用范围为
λλp=πEσp

压杆的稳定性校核

FcrF 之比即为压杆的工作安全因数 n,它应大于规定的稳定安全因数 nst,即
n=FcrFnst

平面图形的几何性质

静矩和形心

在坐标 (y,z) 处,取微面积 dA ,遍及整个图形面积 A 的积分
Sz=AydA,Sy=AzdA
分别定义为图形对 z 轴和 y 轴的静矩,也称为图形对 z 轴和 y 轴的一次矩
这个坐标轴之所以只有 yz 而没有 x ,是因为我们一般分析的是横截面,x 轴是杆的轴线方向。
可以看出,平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的,也就是说,同一图形对不同的坐标轴的静矩通常是不同的。静矩的量纲是长度的三次方。

平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩,分别等于图形面积 A 乘形心的坐标 zy ,即
Sz=Ay,Sy=Az

惯性矩和惯性半径

在坐标 (y,z) 处,取微面积 dA ,遍及整个图形面积 A 的积分
Iy=Az2dA,Iz=Ay2dA
分别定义为图形对 y 轴和 z 轴的惯性矩,也称为图形对 y 轴和 z 轴的二次矩。惯性矩的量纲是长度的四次方。
矩形的对形心轴的 Izbh312
力学计算中,有时把惯性矩写成图形面积 A 与某一长度的平方的乘积,即
Iy=Aiy2,Iz=Aiz2
或者改写为
iy=IyA,iz=IzA
式中的 iyiz 分别称为图形对 y 轴和 z 轴的惯性半径。惯性半径的量纲就是长度的量纲。

ρ 表示微面积 dA 到坐标原点 O 的距离,下列积分
Ip=Aρ2dA
定义为图形对坐标原点 O极惯性矩。又 ρ2=y2+z2 ,于是有
Ip=A(y2+z2)dA=Ay2dA+Az2dA=Iz+Iy

惯性积

在坐标 (y,z) 处,取微面积 dA ,遍及整个图形面积 A 的积分
Iyz=AyzdA
定义为图形对 y,z 轴的惯性积。惯性积的量纲是长度的四次方。
坐标系的两根坐标轴中只要有一根为图形对称轴,则图形对这一坐标系的惯性积就等于零。

平行移轴公式

Iy=IyC+a2AIz=IzC+b2A

作者

未央

发布于

2023-01-24

更新于

2025-04-23

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