材料力学笔记
莫名其妙考了个第一,来还个愿
最近买了台二手服务器,折腾了一些集群、容器、虚拟化之类的东西,比较偏操作也没啥好记的,就很长时间没更了。
这里大致记一下概念,捋一下思路。
绪论
材料力学的任务
使材料满足三个要求:强度、刚度、稳定性。
变形固体的基本假设
三个假设:连续性、均匀性、各向同性。
变形与应变
应变
杆件变形的基本形式
拉伸或压缩、剪切、弯曲、扭转。
拉伸、压缩与剪切
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
拉(压)杆的破坏并不总是沿横截面发生,有时沿斜截面发生。
设与横截面成
把应力
当
材料拉伸时的力学性能
低碳钢的力学性能大致如下:
- 弹性阶段:应力
与应变 成正比,即有 , 为弹性模量。直线最高点对应的应力 称为比例极限,超过这个比例极限后,还有一个弹性极限,这两点间虽然不是直线,但松开后变形还是可以完全消失的,但两点非常接近,所以实际上不作严格区分。 - 屈服阶段:一段小锯齿,应变明显增加,应力先下降再小波动,先下降的那个最低点为屈服阶段或屈服强度,记作
。 - 强化阶段:恢复抵抗变形能力,最高点对应应力
为强度极限。 - 局部变形阶段:过强度极限后出现缩颈
铸铁在较小拉应力下就被拉断,没有屈服和缩颈现象,拉断前的应变也小,是典型的脆性材料。
材料压缩时的力学性能
什么?这不是饼干,这是一个压缩毛巾啊……(滑稽)
低碳钢压缩时的弹性模量
铸铁仍在较小变形下突然破坏,破坏断面法线与轴线大致成 45° - 55° 角。
失效、安全因数和强度计算
对塑性材料,
轴向拉伸或压缩时的变形
可以看出,对长度相同、受力相等的杆件,
试验表明,应力不超过比例极限时横向应变
轴向拉伸或压缩时的应变能
杆件拉伸时,有
能量法解题时需要计算应变能。
拉伸、压缩超静定问题
理论力学默认材料都是刚体,没法解决超静定问题,但实际上材料总是会变形的。
温度应力和装配应力
温度变化为
式中
剪切和挤压的实用计算
扭转
外力偶矩的计算
由
得出计算外力偶矩
纯剪切
对各向同性材料,三个弹性常数
圆轴扭转时的应力
最大切应力
式中
圆截面的抗扭截面系数为
空心圆截面的抗扭截面系数为
圆轴扭转时的变形
距离为
式中
圆截面的
圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形
弹簧最大切应力
式中
刚度系数
代表弹簧抵抗变形的能力。
变形
非圆截面杆扭转的概念
弯曲内力
弯曲的概念和实例
以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。
剪力和弯矩
符号规定:
- 剪力:截面
的左段对右段向上相对错动时,截面 上的剪力规定为正;反之为负。 - 弯矩:截面
处弯曲变形凸向下时,截面 上的弯矩规定为正;反之为负。
计算剪力和弯矩时注意考虑支座反力。
弯矩方程对距离求导为剪力方程。
平面曲杆的弯曲内力
分析时取圆心角为
符号规定:
- 引起拉伸变形的轴力
为正 - 使轴线曲率增加的弯矩
为正 - 以剪力
对所考虑的一段曲杆内任一点取矩,若力矩为顺时针方向,则剪力 为正
弯曲应力
概述
弯矩
梁中间段上剪力为零,弯矩为常量的情况称为纯弯曲。
梁发生弯曲变形时长度不变的纤维层称为中性层,中性层与横截面的交线称为中性轴。
横力弯曲时的正应力
工程实际中觉的弯曲问题多为横力弯曲,此时梁的横截面上不仅有正应力而且有切应力。
一般情况下,最大正应力
引入记号
则有
若截面是高为
若截面是直径为
类似地,空心圆形截面的抗弯截面系数为
弯曲正应力的强度条件为
弯曲切应力
是横截面的部分面积
一般说,在剪力为最大值的截面的中性轴上,出现最大切应力,且
矩形截面梁的最大切应力
为平均切应力的 1.5 倍。
圆形截面梁的最大切应力
为平均切应力的
提高弯曲强度的措施
对抗拉和抗压强度相同的材料(如碳钢)宜采用中性轴对称的截面,对抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁)宜采用中性轴偏向于受拉一侧的截面形状。
如能使
式中
强度校核时超过百分之
弯曲变形
挠曲线的微分方程
发生弯曲变形时,变形前为直线的梁轴线,变形后成为一条连续且光滑的曲线,称为挠曲线。
用积分法求弯曲变形
边界条件:在固定端,挠度和转角都为零,在铰支座上,挠度为零。
然后对
注意
用叠加法求弯曲变形
弯曲变形很小且材料服从胡克定律时,挠曲线的微分方程是线性的。
应力和应变分析 强度理论
应力状态概述
切应力等于零的面称为主平面,主平面上的正应力称为主应力。
二向和三向应力状态的实例
圆筒的壁厚
纵向截面上应力
在研究一点的应力状态时,通常用
二向应力状态分析————解析法
符号规定:正应力拉正压负,切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正,反之为负,这里与平常不同。
取任意斜截面,其外法线
二向应力状态分析————图解法
上面两式两边平方然后相加可消去
作法:
- 在坐标系取点
, , , 。 - 连接
和 ,与横坐标交于 点,以 为圆心, 为半径画圆,得到应力圆。
在应力圆上,从
三向应力状态
广义胡克定律
四种常用强度理论
最大拉应力理论(第一强度理论)
最大伸长线应力理论(第二强度理论)
最大切应力理论(第三强度理论)
最大畸变能密度理论(第四强度理论)
莫尔强度理论
组合变形
扭转与弯曲的组合
按第三强度理论,有
按第四强度理论,有
压杆稳定
压杆稳定的概念
细长杆件受压时,设压力与轴线重合,压力小于某一极限值时,压杆一直保持直线形状的平衡,即便有微小的侧向干扰力使其暂时发生轻微弯曲,干扰力解除后,压杆也能恢复直线形状,这表明压杆直线形状的平衡是稳定的。但是如果压力大于某一极限值时,压杆的直线平衡变为不稳定,将转变为曲线形状的平衡。这时再用微小的侧向干扰力使其发生轻微弯曲,干扰力解除后,它将保持曲线形状的平衡,不能恢复到原有的直线形状。
上述压力的极限值称为临界压力或临界力,记为
其他支座条件下细长压杆的临界压力
欧拉公式的普遍形式为
式中
压杆的约束条件 | 长度因数 |
---|---|
两端铰支 | |
一端固定,另一端自由 | |
两端固定 | |
一端固定,另一端铰支 |
欧拉公式的适用范围 经验公式
上式可以写成
引用记号
这是欧拉公式的另一种表达形式,其适用范围为
压杆的稳定性校核
平面图形的几何性质
静矩和形心
在坐标
分别定义为图形对
这个坐标轴之所以只有
可以看出,平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的,也就是说,同一图形对不同的坐标轴的静矩通常是不同的。静矩的量纲是长度的三次方。
平面图形对
惯性矩和惯性半径
在坐标
分别定义为图形对
矩形的对形心轴的
力学计算中,有时把惯性矩写成图形面积
或者改写为
式中的
以
定义为图形对坐标原点
惯性积
在坐标
定义为图形对
坐标系的两根坐标轴中只要有一根为图形对称轴,则图形对这一坐标系的惯性积就等于零。