高数上笔记

忽然能转了，尝试速成高数上。

前言

有空再写。

笔记正文

第一章 函数与极限

连续函数

间断点的分类

第二章 微积分的基本概念

不定积分

积分表

1. $\int x^\alpha\mathrm dx = \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C(\alpha\neq-1)$
2. $\int\cos x\mathrm dx = \sin x+C$;$\int\sin x\mathrm dx = -\cos x+C$
3. $\int\sec^2x\mathrm dx = \tan x+C$;$\int\csc^2x\mathrm dx = -\cot x+C$
4. $\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2} = \arctan x+C$;$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x+C$
5. $\int\alpha^x\mathrm dx = \frac{1}{\ln\alpha}\alpha^x+C(\alpha>0,\alpha\neq1)$
6. $\int\frac1x\mathrm dx = \ln|x|+C$

第三章 积分的计算及应用

第四章 微分中值定理与泰勒公式

微分中值定理又称为拉格朗日中值定理：设 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则必存在一点 $c\in(a,b)$，使得
$$
f’(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$

例 证明当 $e < a < b < e^2$ 时，$(b-a)\frac{2}{e^2}<\ln^2b-\ln^2a<\frac4e(b-a)$
解

泰勒公式

常用 $\ (x\rightarrow0)$：

1. $e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+o(x^n)$
2. $\sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n})$
3. $\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$
4. $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$
5. $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

第五章 向量代数与空间解析几何