前言
玩脱了，光顾着搞技术，绩点炸了。
高数 59 ，有人问我说我是不是得罪老师了——但是有没有一种可能，就是。。平时分已经给满了（）
笔记正文
第六章 多元函数微分学
1. 多元函数
2. 多元函数的极限
3. 多元函数的连续性
4. 偏导数与全微分
例（2020-2021 第二学期期末，1）确定实数 的范围，使下面的函数在 处可微：
解
当 时，极限为 ，即 ，此时类似地，有
5. 复合函数与隐函数的微分法
6. 方向导数与梯度
7. 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
8. 隐函数存在定理
9. 极值问题
先用 求出驻点，再令
仅当 时可以确定极值： 时为极小值， 时为极大值。
例（2021-2022第二学期期末，4）求多元函数 的极值。
解 求一阶偏导：
令 ，得到 和 两个驻点。再求二阶偏导：
代入 得到 、，故 为极大值点；同理， 为极小值点。
第七章 重积分
1. 二重积分的概念与性质
2. 二重积分的计算
例（2021-2022第二学期期末，2）求
解 作极坐标变换 ，则
例（2017-2018第二学期期末，1）计算二重积分 ，其中 为圆环区域 。
解 作极坐标变换，有
3. 三重积分的概念与计算
4. 重积分的应用举例
曲面 由下面的参数方程给出时：
可计算
从而
第八章 曲线积分与曲面积分
1. 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）
这个非常地简单直观，就是求一条曲线（如二次函数的某一段）的长度。
平面曲线求法：
也可以写成：
空间曲线类似：
2. 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）
这个看起来就不那么地直观，其物理背景是求变力在曲线上做功，大概想象一下子。
计算方法：
两类曲线积分关系：
空间曲线对应为：
3. 格林公式
就一道式子：
条件是函数 和 在平面区域 上有连续的偏导数 ，这个条件一般不管， 主要是边界曲线 闭合就行。
格林公式可以将第二类曲线积分化为简单的二重积分，非常地不错。
PS:以下这些符号的 Latex 支持不是很好，直接用字符了。
例（2020-2021第二学期期末，2）计算曲线积分 ，其中 为圆周 ，积分方向为沿 逆时针方向。
解 为闭合曲线，且 在 围成的 上偏导也连续，所以可以用格林公式：
4. 第一型曲面积分
和第一型曲线积分一样直观，就是求一个曲面的面积。
计算方法：
5. 第二型曲面积分
计算方法：
两类曲面积分关系：
6. 高斯公式与斯托克斯公式
高斯公式：
其中
也可以写成
例（2021-2022第二学期期末，3）计算曲面积分 ，其中 是由 与 所围成立体表面的外侧。
解 是封闭曲面，直接上高斯公式，有
作柱面坐标变换 ，得
直角坐标与柱面坐标关系：
此时
直角坐标与球面坐标关系：
此时
斯托克斯公式：
其中
第九章 常微分方程
1. 基本概念
所谓常微分方程，就是区别于偏微分方程，未知函数是一元函数，而不是多元。
常微分方程的阶数即肉眼可见的导数的最高阶，如 就是三阶常微分方程。
通解的概念： 阶常微分方程有解 ，其中 是 个独立的任意常数，则称其为方程的一个通解；相对的，就有特解的概念，即方程的任何一个不包含任意常数的解。用数学语言表达独立性，有雅可比行列式不为零，即
举个例子，经典方程 有解 ，则雅可比行列式为
可能你会问这个雅可比行列式具体怎么出來的，其实第一行就是 分别对 和 求导，第二行是 对 和 求导。
故 是两个独立的任意常数，进而 是方程的通解。
2. 初等积分法
2.1 变量分离的方程
2.2 可化为变量分离的几类方程
2.3 一阶线性微分方程
形如
的一阶微分方程就叫一阶线性微分方程。
一般套公式就行，若 ，则为齐次方程，直接积分有通解 ；若为非齐次方程则用常数变易法求得通解
然后还有贝努里方程（当然贝努利方程也是它，音译嘛）长这样：
作变量代换 ，可化为一阶线性方程
2.4 全微分方程与积分因子
例（2021-2022第二学期期末，4）求微分方程 的通解。
解 ，且它们在全平面上连续，故方程为全微分方程。下求原函数 ，由 ，对 积分得
上式对 求偏导得
另一方面，
比较上两式得 ，因而 （这里省略积分常数，不影响后面的通积分表达式），故原函数为 ，故方程的通解为
其中 为任意常数。
2.5 可降阶的二阶微分方程
例（2021-2022第二学期期末，5）求微分方程 的通解。
解 方程中不显含变量 ，令 ，并将 看作自变量，有 ，代入有
若 ，则通解为 ，若 ，则有
即 ，再次分离分量，有
例（2020-2021第二学期期末，5）求微分方程 的通解。
解 令 ，有 ，代入有
即有 ，再次分离分量，有
最终得出
3. 微分方程解的存在唯一性定理
4. 高阶线性微分方程
5. 二阶线性常系数微分方程
| 特征根 | 通解形式 |
|---|---|
| 两相异实根 | |
| 二重根 | |
| 共轭复根 |
| 的形式 | 条件 | 特解的形式 |
|---|---|---|
| 不是、是单、是重特征根 | 、、 | |
| 不是、是单、是重特征根 | 、、 | |
| 不是、是特征根 | ； | |
| 不是、是单、是重特征根 | 、、 | |
| 不是、是特征根 | ； |
咋一看很多，其实挺有规律，比如多一个根就多乘一个 ，原来的系数变成待定的。
例（2021-2022第二学期期末，6）求微分方程 的通解。
解 先求对应齐次微分方程 的通解，特征方程 的特征根 ，故通解形式为
其中 为任意常数
再用待定系数法求特解，”3”不是特征根，故设方程有特解 ，则
回代得
解得 ，故特解为 ，与齐次方程通解相加，得出所求非齐次方程通解为
其中 为任意常数。
例（2020-2021第二学期期末，6）求微分方程 的通解。
解 特征方程 的特征根 ，故齐次方程通解形式为
这个方程的非齐次项由两项组成，就先分别求两项的特解，再相加，就是原方程的特解。
对方程 不难求得特解 ，方程 的特解 ，故原方程的特解为
与齐次方程通解相加，得出所求非齐次方程通解为
6. 用常数变易法求解二阶线性非齐次方程与欧拉方程的解法
7. 常系数线性微分方程组
第十章 无穷级数
1. 柯西收敛原理与数项级数的概念
2. 正项级数的收敛判别法
- 比较审敛法：比收敛级数小的级数收敛，比发散级数大的级数发散。
- 比值审敛法： 小于 时收敛，大于 时发散，等于 时敛散性不定。
- 根值审敛法： 小于 时收敛，大于 时发散，等于 时敛散性不定。
- 对数审敛法：通过对数变换，将问题化为更易判断的极限或比较问题。
例（2021-2022第二学期期末，10-1）判断数项级数 的敛散性。
解 放缩一下再比较判别法
由于 收敛，故原级数收敛。
3. 任意项级数
莱布尼茨判别法 若交错级数满足下列条件：
- ；
- 。
则级数收敛。
狄利克雷判别法 考虑级数
若序列 单调且 ，又级数 的部分和序列有界，则级数 收敛。
例（2021-2022第二学期期末，10-2）判断数项级数 的敛散性。
解 取 ，易证得 单调且 ，下证级数 的部分和序列有界：
因此
故级数 收敛。
积化和差公式
阿贝尔判别法
- 无穷数列 单调有界；
- 级数 收敛。
则级数 收敛。
4. 函数项级数
4.1 函数序列及函数项级数的一致收敛性
4.2 函数项级数一致收敛的必要条件与判别法
强级数判别法 若函数项级数 的一般项满足：
且正项级数 收敛，则该函数项级数在 上一致收敛。
狄利克雷判别法 与数项级数的狄利克雷判别法类似。
- 在 中任意取定一个 ，数列 对 单调，且函数序列 在 上一致收敛于 ；
- 函数项级数 的部分和序列 在 上一致有界。
则 在 上一致收敛。
阿贝尔判别法 与数项级数的阿贝尔判别法类似。
- 在 中任意取定一个 ，数列 单调，且函数序列 在 上一致有界；
- 级数 在 上一致收敛。
则级数 在 上一致收敛。
4.3 一致收敛级数的性质
和函数的连续性 设函数项级数 在 上一致收敛，且其每一项 在 上都连续，则其和函数 在 上也连续。
例（2021-2022 第二学期期末，11）考虑函数项级数 ，证明：
- 级数在 上收敛；
- 级数在 上不一致收敛；
- 级数的和函数 在 上连续。
解
- 固定任意 ，原级数是常数 与收敛级数 的乘积，故收敛。
- 取点列 ，有 ，所以一般项不一致收敛于 ，原级数不一致收敛。
- 对任意闭区间 ，有 ，由强级数判别法可知级数在 上一致收敛，因此和函数在 上连续。
5. 幂级数
幂级数是函数项级数的一种，长这样：
5.1 幂级数的收敛半径
那么级数 的收敛半径 ，当然直接反着除直接出也行。
收敛区间就是 ，收敛域就根据端点的收敛情况再修正下区间闭不闭合。
例（2021-2022第二学期期末，8）求幂级数 的收敛半径与和函数。
解
故收敛半径 ，收敛区间 。
然后讨论两个端点：当 时，原级数发散；当 时，原级数收敛，故收敛域为 。
设和函数 ，则两边乘 有 ，两边求导有
再两边求积，有
故当 时， ；当 时，肉眼可见 。
5.2 幂级数的性质
和函数项级数一样，可以逐项求积，也可以逐项求导。
6. 泰勒级数
求函数在 处的泰勒展开式就作 变换，然后求出来的式子再代回去就行了。
记一下常用的几条泰勒展开式：
例（2021-2022第二学期期末，10）求函数 在 处的泰勒级数，并指出其收敛域。
解 ，右边显然就是 导数的形式了，故我们由 的泰勒展开式逐项求导有
变形得
最后代入 ，有
那么级数形式为
令 ，对应幂级数关于 的收敛半径为 ，因此原级数满足 。
当 时，一般项不趋于 ，故两个端点都发散，最终收敛域为 。