前言
玩脱了，光顾着搞技术，绩点炸了。 高数 59 ，有人问我说我是不是得罪老师了——但是有没有一种可能，就是。。平时分已经给满了（）
笔记正文
第六章 多元函数微分学
1. 多元函数
2. 多元函数的极限
3. 多元函数的连续性
4. 偏导数与全微分
例（2020-2021第二学期期末，1）确定实数 的范围，使函数 在 处可微。 解
当 时，极限为 ，即 ，此时类似地，有
5. 复合函数与隐函数的微分法
6. 方向导数与梯度
7. 多元函数的微分中值定理与泰勒公式
8. 隐函数存在定理
9. 极值问题
先用 求出稳定点，再令 ，仅 时可以确定极值，此时 就是极小值， 就是极大值。与二元函数类似。
例（2021-2022第二学期期末，4）求多元函数 的极值。 解 ，令 ，得到 和 两个稳定点。令 ，代入 得到 ，
第七章 重积分
1. 二重积分的概念与性质
2. 二重积分的计算
例（2021-2022第二学期期末，2）求 解 作极坐标变换 ，则
例（2017-2018第二学期期末，1）计算二重积分 ，其中 为圆环区域 。 解 作极坐标变换，有
3. 三重积分的概念与计算
4. 重积分的应用举例
曲面 由参数方程 给出时，可计算
从而
第八章 曲线积分与曲面积分
1. 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）
这个非常地简单直观，就是求一条曲线（如二次函数的某一段）的长度。 平面曲线求法：
空间曲线类似：
2. 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）
这个看起来就不那么地直观，其物理背景是求变力在曲线上做功，大概想象一下子。 计算方法：
两类曲线积分关系：
3. 格林公式
就一道式子：
条件是函数 和 在平面区域 上有连续的偏导数 ，这个条件一般不管， 主要是边界曲线 闭合就行。 格林公式可以将第二类曲线积分化为简单的二重积分，非常地不错。
PS:以下这些符号的 Latex 支持不是很好，直接用字符了。
例（2020-2021第二学期期末，2）计算曲线积分 ，其中 为圆周 ，积分方向为沿 逆时针方向。 解 为闭合曲线，且 在 围成的 上偏导也连续，所以可以用格林公式：
4. 第一型曲面积分
和第一型曲线积分一样直观，就是求一个曲面的面积。 计算方法：
5. 第二型曲面积分
计算方法：
两类曲面积分关系：
6. 高斯公式与斯托克斯公式
高斯公式：
例（2021-2022第二学期期末，3）计算曲面积分 ，其中 是由 与 所围成立体表面的外侧。 解 是封闭曲面，直接上高斯公式，有
作柱面坐标变换 ，得
直角坐标与柱面坐标关系：
此时 直角坐标与球面坐标关系：
此时
斯托克斯公式：
第九章 常微分方程
1. 基本概念
所谓常微分方程，就是区别于偏微分方程，未知函数是一元函数，而不是多元。 常微分方程的阶数即肉眼可见的导数的最高阶，如 就是三阶常微分方程。 通解的概念： 阶常微分方程有解 ，其中 是 个独立的任意常数，则称其为方程的一个通解；相对的，就有特解的概念，即方程的任何一个不包含任意常数的解。用数学语言表达独立性，有雅可比行列式不为零，即
举个例子，经典方程 有解 ，则雅可比行列式为
可能你会问这个雅可比行列式具体怎么出來的，其实第一行就是 分别对 和 求导，第二行是 对 和 求导。 故 是两个独立的任意常数，进而 是方程的通解。
2. 初等积分法
2.1 变量分离的方程
2.2 可化为变量分离的几类方程
2.3 一阶线性微分方程
形如
的一阶微分方程就叫一阶线性微分方程。 一般套公式就行，若 ，则为齐次方程，直接积分有通解 ；若为非齐次方程则用常数变易法求得通解
然后还有贝努里方程（当然贝努利方程也是它，音译嘛）长这样：
作变量代换 ，可化为一阶线性方程
2.4 全微分方程与积分因子
例（2021-2022第二学期期末，4）求微分方程 的通解。 解 ，且它们在全平面上连续，故方程为全微分方程。下求原函数 ，由 ，对 积分得
上式对 求偏导得
另一方面，
比较上两式得 ，因而 （这里省略积分常数，不影响后面的通积分表达式），故原函数为 ，故方程的通解为
其中 为任意常数。
2.5 可降阶的二阶微分方程
例（2021-2022第二学期期末，5）求微分方程 的通解。 解 方程中不显含变量 ，令 ，并将 看作自变量，有 ，代入有
若 ，则通解为 ，若 ，则有
即 ，再次分离分量，有
例（2020-2021第二学期期末，5）求微分方程 的通解。 解 令 ，有 ，代入有
即有 ，再次分离分量，有
最终得出
3. 微分方程解的存在唯一性定理
4. 高阶线性微分方程
5. 二阶线性常系数微分方程
特征根 | 通解形式 ———|———- 两相异实根 | 二重根 | 共轭复根 |
的形式 | 条件 | 特解的形式 ———|———-|——— | “0”不是/是单/是重特征根 | | 不是/是单/是重特征根 | | 不是/是特征根 | | 不是/是单/是重特征根 | | 不是/是特征根 |
咋一看很多，其实挺有规律，比如多一个根就多乘一个 ，原来的系数变成待定的。
例（2021-2022第二学期期末，6）求微分方程 的通解。 解 先求对应齐次微分方程 的通解，特征方程 的特征根 ，故通解形式为
其中 为任意常数 再用待定系数法求特解，”3”不是特征根，故设方程有特解 ，则
回代得
解得 ，故特解为 ，与齐次方程通解相加，得出所求非齐次方程通解为
其中 为任意常数。
例（2020-2021第二学期期末，6）求微分方程 的通解。 解 特征方程 的特征根 ，故齐次方程通解形式为
这个方程的非齐次项由两项组成，就先分别求两项的特解，再相加，就是原方程的特解。 对方程 不难求得特解 ，方程 的特解 ，故原方程的特解为
与齐次方程通解相加，得出所求非齐次方程通解为
6. 用常数变易法求解二阶线性非齐次方程与欧拉方程的解法
7. 常系数线性微分方程组
第十章 无穷级数
1. 柯西收敛原理与数项级数的概念
2. 正项级数的收敛判别法
- 比较审敛法
比收敛小的就收敛，比发散大的就发散
- 比值审敛法
小于 1 就收敛，大于 1 就发散，等于 1 时敛散性不定
- 根值审敛法
与上面类似， 小于 1 就收敛，大于 1 就发散，等于 1 时敛散性不定
- 对数审敛法
例（2021-2022第二学期期末，10-1）判断数项级数 的敛散性。 解 放缩一下再比较判别法
由于 收敛，故原级数收敛。
3. 任意项级数
莱布尼茨判别法 若交错级数满足下列条件：
则级数收敛。 狄利克雷判别法 考虑级数
若序列 单调且 ，又级数 的部分和序列有界，则级数 收敛。 例（2021-2022第二学期期末，10-2）判断数项级数 的敛散性。 解 取 ，易证得 单调且 ，下证级数 的部分和序列有界：
故级数 收敛。
积化和差公式
阿贝尔判别法 （1）无穷数列 单调有界 （2）级数 收敛 则级数 收敛。
4. 函数项级数
4.1 函数序列及函数项级数的一致收敛性
4.2 函数项级数一致收敛的必要条件与判别法
强级数判别法 若函数项级数 的一般项满足：
且正项级数 收敛，则该函数项级数在 上一致收敛。
狄利克雷判别法 与数项级数的狄利克雷判别法类似。 （1）在 中任意取定一个 ，数列 对 单调，且函数序列 在 上一致收敛于 （2）函数项级数 的部分和序列 在 上一致有界 则 在 上一致收敛。
阿贝尔判别法 与数项级数的阿贝尔判别法类似。 （1）在 中任意取定一个 ，数列 单调，又函数序列 在 上一致有界 （2）级数 在 上一致收敛 则级数 在 上一致收敛。
4.3 一致收敛级数的性质
和函数的连续性 设函数项级数 在 上一致收敛，且其每一项 在 上都连续，则其和函数 在 上也连续。
例（2021-2022第二学期期末，11）考虑函数项级数 ，证明： （1）级数在 上收敛 （2）级数在 上不一致收敛 （3）级数的和函数 在 上连续 解 （1）就是数项级数，随便证。 （2）存在点列 使
5. 幂级数
幂级数是函数项级数的一种，长这样：
5.1 幂级数的收敛半径
那么级数 的收敛半径 ，当然直接反着除直接出也行。 收敛区间就是 ，收敛域就根据端点的收敛情况再修正下区间闭不闭合。
例（2021-2022第二学期期末，8）求幂级数 的收敛半径与和函数。 解
故收敛半径 ，收敛区间 。 然后讨论两个端点，当 时，原级数发散；当 时，原级数收敛，故收敛域为 设和函数 ，则两边乘 有 ，两边求导有
再两边求积，有
故当 时， ；当 时，肉眼可见 。
5.2 幂级数的性质
和函数项级数一样，可以逐项求积，也可以逐项求导。
6. 泰勒级数
求函数在 处的泰勒展开式就作 变换，然后求出来的式子再代回去就行了。
记一下常用的几条泰勒展开式：
关于最后这个 ，一堆证明后得出，当 时有
例（2021-2022第二学期期末，10）求函数 在 处的泰勒级数，并指出其收敛域。 解 ，右边显然就是 导数的形式了，故我们由 的泰勒展开式逐项求导有
变形得
最后代入 ，有
那么级数形式为
收敛半径 故收敛区间为 ，当 时，