复变函数笔记

复数与复变函数

复数及其运算

通常记复数为 ，其中实部与虚部记作

显然

以正实轴为始边，以 所对应的向量为终边的角称为复数 的辐角，记作 ，把在 之间的辐角称为 的主辐角（或主值或者叫辐角主值），记作 。 有个重要点就是辐角要注意正负。

以及大名鼎鼎的欧拉公式：

一个没什么名但是很有用的公式——棣莫弗公式：

复数的开方 复数开方时，开几次方就有几个结果。 求 时，令 ，从而 ，得到

故

于是

平面点集的一般概念

和高数类似，没啥好说的。

复变函数

似乎也没啥重要的（）

解析函数

解析函数的概念与柯西-黎曼方程

奇点：如果函数 在点 不解析，则称 为 的奇点。 求有理分式的奇点时，直接取分母零点即可。

柯西-黎曼方程（C-R方程）：

可导的充要条件： 和 在点 可微，且在该点满足C-R方程。

例 证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是

初等函数及其解析性

指数函数 为任意复数，称 为指数函数。

对数函数 满足方程 的函数 称为对数函数，且

幂函数 为幂函数。

三角函数 称 为正弦函数， 为余弦函数。

双曲函数 称 为双曲正弦函数， 为双曲余弦函数。

解析函数与调和函数的关系

若实二元函数 在区域 内具有二阶连续偏导数，且满足 方程

则称 为区域 的调和函数。

例 验证 为调和函数，并求以 为实部的解析函数 ，使得 。

解 ，，故 ， 为调和函数。下面求虚部 。 法一：偏积分法

法二：全微分法

最后代入 有 。

复变函数的积分

复变函数积分的概念

例 计算 ，其中 为包含 的一条闭曲线。 解 以 为圆心 为半径作圆，则函数 在 上解析，因此

柯西积分定理

设函数 在单连通域 内解析， 为 内的任意一条简单闭曲线，则有

甚至也不用在 上解析，在 上连续就成立。

复合闭路定理

设多连域 的边界为 ，函数 在 内解析，在 上连续，则

或

柯西积分公式

柯西积分公式 若函数 在简单正向闭曲线 所围成的区域 内解析，在区域 的边界 上连续， 是区域 内任意一点，则

高阶求导公式 设 在 内解析，在 的边界 上连续， 为正向简单闭曲线，则 在 内解析，且有

解析函数的幂级数表示

复级数的基本概念

复数列收敛和一般的数列收敛定义类似，其充要条件为

所以判断级数收不收敛就拆成实部和虚部然后进行判断。

幂级数

收敛半径 求法与高数类似，但多个根值法： （1）（比值法） （2）（根值法） 则收敛半径

幂级数性质与高数也类似，可以逐项求导和逐项求积。

解析函数的泰勒展开

与高数类似，不再赘述。

四个重要的已知展开

展开后注意标出收敛圆！

洛朗级数

泰勒展开有个缺陷，那就是只能展开到解析的地方，如果中间有个奇点卡住，那就不能再往外展开了。 这个时候就用到洛朗级数，可以在圆环域展开，弥补泰勒展开的不足。

留数及其应用

孤立奇点

零点的判断

首先很直白的， ，那么 就是 的零点。 若 ， 在 处解析且 ，则 是 的 阶零点。

奇点类型的判断

从定义上判断的话就先展开成洛朗级数，即设 为 的孤立奇点，将 在 内洛朗展开为 。

1. 可去奇点：展开式中不含负幂次项，直观上看就是 。
2. 阶极点：含有限多的负幂次项，且最高负幂次为 ，直观上看就是 。
3. 本性奇点：含无穷多的负幂次项，直观上看就是 不存在且不为 。

留数

留数的定义

设 为函数 的孤立奇点，将 在 的去心邻域内展开成洛朗级数

称 为 在 处的留数，记作

其中 是 的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。

留数的求解

1. 为可去奇点： 。
2. 为本性奇点：需要将在的去心邻域内展开成洛朗级数

3. 为 阶极点：

无穷远处的留数

若函数 在无穷远点 的去心领域 内解析，则称点 为 的孤立奇点。

设函数 在圆环域 内解析，则 在 处的留数为：

其中， 为 。

利用留数计算实积分

形如 的积分

计算方法：

1. 令 ，则 ， ， 。
2. ，其中 是 在 内的孤立奇点。

形如 的积分

要求：

1. ，其中 和 为多项式，且 无实零点。
2. 分母 的次数比分子 的次数高 或以上。

计算方法： ， 其中 为 在上半平面内的孤立奇点。

例 求积分 . 解 首先显然分母零点均为虚数，且分母次数比分子高 ，故满足条件。

1. 令

则上半平面内有一阶极点 和 。

1. 则

形如 的积分

要求：

1. ，其中 和 为多项式，且 无实零点。
2. 分母 的次数比分子 的次数高 或以上。