信号与系统笔记

以作业题复习为主。

第一章 信号与系统

习题 1.21 先给一个 的信号图像，让你画出变换后的信号图像。 基本和高中数学的函数图像变换差不多。 (d) 即 ，先放大为 2 倍，再向右平移 8 个单位。 (e) 注意 是单位阶跃函数，即 当 ， 当 。 所以乘上 后，信号只保留 的部分。 (f) 是单位冲激函数，这里乘 可以理解为在 处分别取样，注意画图时有个箭头从 x 轴指向采样值。

习题 1.25 判断下列连续时间信号的周期性；若是周期的，确定其基波周期，即最小正周期。 (c) 有点考验对高中三角函数的熟悉程度，，所以 ，所以是周期信号，，故基波周期 。 (f) 令 ，有 令 ，有 令 ，所以基波周期 。（这里是因为 要是整数，所以 最小只能是 ）

习题 1.26 判断下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定其基波周期。 注意到离散时间信号是用中括号表示的，如 ，而连续时间信号是用小括号表示的，如 。 (c) 若 为周期信号，则 ，即 （ 为整数）对任意 都成立，即 对任意 都成立，则 和 都要能被 16 整除，所以满足条件的最小 ，即基波周期 。 (e) 注意到三个信号的基波周期分别为 8、16、4， 的基波周期就是它们的最小公倍数，即 。

习题 1.27 对下列连续时间信号，确定下列哪些性质成立，哪些不成立，并陈述理由。 （1）无记忆的；（2）时不变的；（3）线性的；（4）因果的；（5）稳定的。 这里解释一下这些性质的定义：

• 无记忆性：系统的输出只与当前时刻的输入有关，与过去和未来的输入无关。
• 时不变性：系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何其它变化。
• 线性：系统的输出对于输入信号是线性的，即对 ，有 。
• 因果性：系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以后的输入无关。
• 稳定性：系统当输入有界时，产生的输出也是有界的。

(b) （1）由于 只与当前时刻的 有关，所以是无记忆的。 （2）令 ，则 ，故系统是时变的。 （3）令 ，则 ，故系统是线性的。 （4）因为当 时，有 ，故系统是因果的。 （5）设 ( 为有限大小的正数)，对所有 都有 ，故系统是稳定的。 (c) （1）由于 由 到 时刻的 决定，即 取决于 由过去到未来 时刻的值，故系统是有记忆的，也是非因果的。 （2）令 则 ，故系统是时变的。 （3）令 ，则 ，故系统是线性的。 （4）上面说了，系统是非因果的。 （5）设 （ 为有限大小的正数），对所有 是有界的，如 是有界的，但 不是有界的，故系统是不稳定的。

习题 1.31 给了信号 及其输出 的图像，求 和 的图像。 可以看出 和 是 的线性组合，利用 LTI 系统的线性特性和时不变特性即可求解。 (a) ，故 (b) ，故

第二章 线性时不变系统

习题 2.1 设 ，，计算下列卷积： (a)

(b)

(c)

习题 2.10 假设

和。

(a) 求出并画出 ; (b) 若 仅含有三个不连续点， 值为多少？

习题 2.11 令

(a) 计算

(b) 计算 注意到 的导数是 ，所以 。

(c) 与 有什么关系？

习题 2.20 求下列积分： (a) (b) (c)

习题 2.21 计算下列各对信号的卷积 (a)